La Bruja de las Mates®
Matemáticas Divertidas y Efectivas
El sistema de numeración decimal permite escribir cualquier número con diez símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
Estos diez símbolos se llaman cifras o dígitos.
En un número, el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa: unidades, decenas, centenas, unidades de mil o de millar, decenas de millar...
Primero se separan las cifras de tres en tres empezando por la derecha.
Después se leen de izquierda a derecha como si fuesen números de tres cifras.
Se añaden las palabras mil, millones, billones, trillones,... donde corresponda.
Hasta el número treinta siempre se escribe con una sola palabra.
Ejemplo: 9,013,098,099,421 se lee: nueve billones trece mil noventa y ocho millones noventa y nueve mil cuatrocientos veintiuno
Dados dos números naturales cualesquiera se cumplirá una de las siguientes opciones:
menor que .....<
igual que .... =
mayor que .... >
Ejemplo: Se puede escribir: 7<13 o bien 13>7
Es la sustitución, a partir de cierto lugar, de todas las cifras por ceros. Pero si la primera cifra que se sustituye es 5 o mayor que 5 se aumenta en uno la cifra anterior a la sustituida.
Ejemplo: El número 7,261,459,803
Redondeado a unidades de millón:
La cifra de los millones es 1, la cifra siguiente es un 4, menor que 5, luego el nº redondeado es: 7,261,000,000
Redondeado a unidades de millar:
La cifra de los millones es 9, la cifra siguiente es un 8, mayor que 5, luego el nº redondeado es: 7,261,460,000
Los números que se suman se llaman sumandos. Un paréntesis indica la suma que se realiza primero.
La suma de números naturales tiene las siguientes propiedades:
Ejemplo: 777 + 560 = 1,337
Propiedad conmutativa: 777 + 560 = 560 + 777
Propiedad asociativa: (777 + 560) + 123 = 777 + (560 + 123)
Los números que intervienen en una resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia:
Ejemplo: 377 - 150 = 227
La multiplicación de un número a, mayor que 1, por otro b es la suma de a sumandos iguales al número b. Se expresa a×b o a·b; a y b se llaman factores.
Ejemplo: 18 · 60 = 1,080
Propiedad conmutativa: 18·60 = 60·18
Propiedad asociativa: (18·60)·10 = 18·(60·10)
La división es la operación contraria a la multiplicación y se expresa a:b o a/b.
a es el dividendo, b el divisor y c el cociente.
Muchas veces la división no es exacta. Por ejemplo, 45:8 no es una división exacta porque 8·5=40 y 8·6=48; entonces 45 entre 8 tiene de cociente 5 y de resto 45-40=5.
División exacta:
| 18 | 6 |
| 0 | 3 |
Dividendo = divisor · cociente → 18 = 6 · 3
División entera:
| 45 | 8 |
| 5 | 5 |
Dividendo = divisor · cociente + resto → 45 = 8 · 5 + 5
El orden para realizar operaciones es:
Si solo hay multiplicaciones y divisiones o solo hay sumas y restas, se realizan de izquierda a derecha.
Ejemplo: (7 + 3·5) - 5 = (7 + 15) - 5 = 22 - 5 = 17
Una potencia es una manera abreviada de expresar una multiplicación de factores iguales.
Por ejemplo, 24 es una potencia. Se lee "dos elevado a cuatro" y significa 2·2·2·2. La base es 2, que es el factor que se repite. El exponente es 4, que es el número de veces que se repite la base.
Observa que las potencias más sencillas son las que tienen como base 1 ó 10.
No se debe confundir 24 y 2·4.
24 = 2·2·2·2 = 16
2·4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
Ejemplos:
63 · 65 = 63+5 = 68
58 : 52 = 58-2 = 56
(45)3 = 45·3 = 415
63 · 23 = (6·2)3 = 123
95 : 35 = (9:3)5 = 35
70 = 1
81 = 8
15 = 1·1·1·1·1 = 1
103 = 10·10·10 = 1,000
105 = 10·10·10·10·10 = 100,000
La raíz cuadrada es la operación contraria a elevar al cuadrado. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 64 es 8 porque 82 = 64 y se escribe √64 = 8.
El símbolo √ se llama radical y el número que está dentro del radical es el radicando.
Si un número se eleva al cuadrado se obtiene un número cuadrado. Los números cuadrados tienen una raíz cuadrada exacta.
Muchos números no tienen raíz cuadrada exacta. En tal caso se calcula la raíz cuadrada entera y habrá un resto.
Por ejemplo, 70 no tiene raíz cuadrada exacta porque 82 = 64 y 92 = 81. La raíz cuadrada entera de 70 es 8 y el resto es 70 - 64 = 6. √70 = 8 y resto 6.
Para hacer raíces cuadradas por tanteo buscaremos números que al elevarlos al cuadrado se aproximen al radicando.
| Ejercicio | Solución | Ejercicio | Solución |
|---|---|---|---|
| a) 23 + 6 = | 29 | q) 76 - 4 = | 72 |
| b) 57 + 8 = | 65 | h) 52 - 5 = | 47 |
| c) 39 + 4 = | 43 | i) 66 - 8 = | 58 |
| d) 54 + 9 = | 63 | j) 94 - 9 = | 85 |
| e) 76 + 5 = | 81 | k) 25 - 7 = | 18 |
| f) 88 + 7 = | 95 | l) 44 - 6 = | 38 |
| m) 3 × 9 = | 27 | r) 35 : 5 = | 7 |
| n) 6 × 8 = | 48 | s) 63 : 9 = | 7 |
| f) 7 × 7 = | 49 | t) 18 : 6 = | 3 |
| o) 9 × 6 = | 54 | u) 32 : 4 = | 8 |
| p) 6 × 7 = | 42 | v) 56 : 8 = | 7 |
| q) 8 × 8 = | 64 | w) 42 : 7 = | 6 |
6. Calcula:
a) (6 + 3) × 5 =
b) (7 + 6) × 3 =
c) 3 + 3 × 3 =
d) 6 + 4 × 8 =
e) 2 × 8 + 3 × 5 =
f) 6 × 7 + 8 × 5 =
g) 9 + 0 =
h) 8 × 1 =
i) 7 × 0 =
Solución:
a) 9 × 5 = 45
b) 13 × 3 = 39
c) 3 + 9 = 12
d) 6 + 32 = 38
e) 16 + 15 = 31
f) 42 + 40 = 82
g) 9
h) 8
i) 0
7. Calcula usando la propiedad distributiva:
a) (4 + 5) × 6 =
b) (3 + 8) × 8 =
c) (8 + 2) × 6 =
Solución:
a) 4 × 6 + 5 × 6 = 24 + 30 = 54
b) 3 × 8 + 8 × 8 = 24 + 64 = 88
c) 8 × 6 + 2 × 6 = 48 + 12 = 60
8. Expresa como un producto:
a) 4 × 7 + 5 × 7 =
b) 3 × 9 + 5 × 9 =
c) 6 × 7 + 4 × 7 =
Solución:
a) (4 + 5) × 7 = 9 × 7
b) (3 + 5) × 9 = 8 × 9
c) (6 + 4) × 7 = 10 × 7
9. Simplifica y calcula:
a) 23 × 24 =
b) 35 : 32 =
c) (52)3 =
d) 42 × 32 =
Solución:
a) 23+4 = 27 = 128
b) 35-2 = 33 = 27
c) 52×3 = 56 = 15,625
d) (4×3)2 = 122 = 144
10. Calcula las siguientes raíces cuadradas:
a) √36 =
b) √81 =
c) √100 =
d) √49 =
Solución:
a) √36 = 6 (porque 62 = 36)
b) √81 = 9 (porque 92 = 81)
c) √100 = 10 (porque 102 = 100)
d) √49 = 7 (porque 72 = 49)